Рїрѕрґрµр»Рєрё РёР· цилиндра: Хочу учиться на ВМК!

Хочу учиться на ВМК!

Хочу учиться на ВМК!

Абитуриенту

Продолжение. См. № 1, 3/05

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев,

Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,

физфак МГУ, г. Москва

chesnok@ msuilc.phys.msu.su

Задачи, предлагавшиеся на
вступительных экзаменах на факультет

вычислительной математики и кибернетики МГУ им.
М.В.Ломоносова в 2004 г.

I. МЕХАНИКА (продолжение)

6   Обруч
диаметром D располагается в вертикальной
плоскости. В точке A, лежащей на верхнем
конце вертикального диаметра обруча, на шарнире
закреплен жёлоб, угол наклона которого можно
менять. По жёлобу из точки A пускают
скользить без начальной скорости небольшой
брусок. Найдите зависимость времени , через которое
брусок достигнет точки пересечения жёлоба и
обруча, от угла , который жёлоб образует с вертикалью.
Коэффициент трения бруска о жёлоб , ускорение свободного
падения .

Решение

Уравнение движения бруска по жёлобу,
составляющему угол с вертикалью, имеет вид:

откуда ускорение бруска

Из кинематического соотношения где L
= Dcos
– путь, пройденный бруском до точки пересечения
жёлоба с обручем, получаем ответ:

В диапазоне время движения бруска
увеличивается с ростом . При брусок, предоставленный
самому себе, двигаться не будет.

7  На
горизонтальной доске, имеющей прямоугольный
уступ высотой H = 10 см, располагается
вплотную к уступу однородный цилиндр радиусом R
= 25 см. Доску начинают двигать с некоторым
ускорением a, направленным вправо.
Каково максимально возможное значение ускорения
amax, при котором цилиндр не будет подниматься на
уступ? Все поверхности гладкие. Ускорение
свободного падения = 9,8 м/с².

Решение

Пусть ускорение доски таково, что
цилиндр не перекатывается через уступ, а
движется поступательно вместе с доской. Силы,
действующие на цилиндр в этом случае, изображены
на рисунке, где через m обозначена сила
тяжести (m – масса цилиндра), через N
– сила реакции горизонтальной части доски, а
через N₁ – сила реакции
уступа. Поскольку трение, по условию задачи,
пренебрежимо мало, вектор силы N₁
направлен перпендикулярно касательной к
поверхности цилиндра, т.е. по радиусу к его оси. В
проекциях на горизонтальное и вертикальное
направления уравнения движения цилиндра имеют
вид:

Если увеличивать ускорение доски, то
модуль силы N₁ будет
возрастать, а модуль силы N –
уменьшаться. Наконец, при максимально возможном
ускорении доски, при котором цилиндр ещё не будет
подниматься на уступ, N обратится в нуль. Из
уравнений движения для этого случая находим

где – угол между горизонталью и вектором N₁.
Выражая ctg через заданные в условии радиус
цилиндра и высоту уступа, получаем

8  На горизонтальной
шероховатой поверхности находится маленький
брусок. Если на брусок подействовать в течение
очень короткого промежутка времени
горизонтальной силой, равной по модулю F и
значительно превышающей силу трения скольжения,
то после этого брусок пройдёт до остановки путь s₀.
Какой путь s пройдёт до остановки этот
брусок, если в течение того же промежутка времени
на него одновременно подействовать тремя
горизонтальными силами с тем же модулем F,
две из которых направлены под углами = 60° к третьей?

Решение

Обозначим через t время действия
силы F. По закону изменения
импульса, имеем где m – масса бруска, ₀
– скорость, которую он приобретает в результате
действия силы F (импульсом силы
трения за время , по условию задачи, можно пренебречь). По
закону изменения механической энергии:

где – коэффициент трения. Величина
равнодействующей трёх сил, действующих на брусок
одновременно и направленных, как показано на
рисунке, равна

Законы изменения импульса и энергии в
этом случае дают:

Объединяя записанные выражения,
находим

9  
Однородная тяжёлая цепочка, состоящая из мелких
звеньев, подвешена за концы, как показано на
рисунке. Точка C – самая нижняя точка
цепочки. Определите массу цепочки m, если
известно, что величины силы натяжения цепочки в
точках A, B, C равны соответственно T_A,
T_B, T_C.
Ускорение свободного падения .

Решение

На каждое звено цепочки действуют
силы, изображённые на рисунке, где через m
обозначена сила тяжести, а через T и
T’ – силы, приложенные к этому звену
со стороны соседних звеньев. Поскольку цепочка
висит неподвижно, каждое звено находится в
состоянии равновесия и сумма сил, действующих на
него, равна нулю. Полагая, что масса каждого звена
мала, можно считать, что силы T и T’
равны по величине и направлены в противоположные
стороны по касательной к цепочке.